昨日気付いて衝撃だったんですが、

僕が人生で一番最初に買った圏論の本の著者はずっと名前が読めませんでした。

Ji......jiri ? ジリ? なんか i の上に✓が付いてて読み方が分からないし、

みたいなノリだったのですがその本の著者、なんと Jiří Adámek だったのです。

 

定義

locally smallでfiltered colimitを持つ圏 mathcal{C}のobject c がfinitely presentable object (あるいはcompact object)であるとは,

 {f Sets}値関手  {
m Hom}(c, -): mathcal{C}	o {f Sets} がfiltered colimitを保存するときを言う. 

 

filtered colimitの定義についてはnLab参照 filtered limit in nLab

実はfiltered colimitはdirected colimit (つまり帰納極限)だと思うことができるので、directed colimitと思うことにしましょう。

 

このブログはアーベル群と腸についてのブログなので、アーベル群の圏 {f Ab}について考えてみます。アーベル群の場合圏論的な一般論から導かれることはもっと初等的に証明できることの方が多そうですが、アーベル群の圏について圏論的な何らかを考えるときには一般論が便利なこともありそうです。

 

命題

 {f Ab}において, 群がfinitely presentable objectであることと有限生成であることは同値. 

 

定義通り言い換えると次の主張になります。

 

命題

アーベル群 Aが有限生成   Leftrightarrow  任意の帰納極限で書ける群displaystyle lim_{longrightarrow}B_jについて

displaystyle {
m Hom}(A, lim_{longrightarrow}B_j)cong lim _{longrightarrow}{
m Hom}(A, B_j)

 

片方はホモロジー代数の本によく載っているように思います。

アーベル群 ( mathbb{Z}-加群) で考える限り有限生成でよいですが,  R-加群では有限表示にする必要があります。 R-加群の場合を意識してできる限り圏論的な証明を心がけます。

 

証明

( Rightarrow)

 Aが有限生成とすると完全列 mathbb{Z}^{oplus n}	o A	o 0があり, さらに

 mathbb{Z}はNoether環だから完全列 mathbb{Z}^{oplus m}	o mathbb{Z}^{oplus n}	o A	o 0がある.

 displaystyle B:=lim _{longrightarrow}B_jとすると, colimitの普遍性から縦の射が生える. 

 

 displaystyle 0 	o lim _{longrightarrow}{
m Hom}(A, B_j)	o lim _{longrightarrow}{
m Hom}(mathbb{Z}^{oplus n}, B_j)	o lim _{longrightarrow}{
m Hom}(mathbb{Z}^{oplus m}, B_j)

                    downarrow                              downarrow                            downarrow

 0 	o    {
m Hom}(A, B)      	o      {
m Hom}(mathbb{Z}^{oplus n}, B)     	o       {
m Hom}(mathbb{Z}^{oplus m}, B)

 

ここで右の2つの射は同型である: 

displaystyle lim _{longrightarrow}{
m Hom}(mathbb{Z}^{oplus n}, B_j)cong lim _{longrightarrow}{
m Hom}(mathbb{Z}, B_j)^ncong (lim _{longrightarrow}{B_j})^n cong {
m Hom}(mathbb{Z}^{oplus n}, B)

ここでfiltered colimitが有限極限と交換することを使ったことに注意する. 

five-lemmaにより左端の下向きの射も同型である. よって {
m Hom}は帰納極限と交換する. 

 

( Leftarrow)

 Aのすべての有限生成部分加群たち {A_i}_{iin I}とその間の包含射からなる帰納系を考えると Aはこれらの帰納極限として表せる. 

 displaystyle {
m Hom}(A, A) cong {
m Hom}(A, lim _{longrightarrow}A_i)

仮定から

 displaystyle {
m Hom}(A, A) cong lim _{longrightarrow}{
m Hom}(A, A_i)

と帰納極限が交換する. Homの左完全性から右辺の帰納極限を与える帰納系も包含射によって与えられているから, 帰納極限の構成からcoconeを与える射  displaystyle {
m Hom}(A, A_i)	olim _{longrightarrow}{
m Hom}(A, A_i) も単射になっていて displaystyle lim _{longrightarrow}{
m Hom}(A, A_i) displaystyle {
m Hom}(A, A_i) たちの和集合になっている.

(こういうチェックをちゃんと書こうとも思うので気が向いたら随時書き足していきたいです)

 

 displaystyle {
m Hom}(A, A)    cong     lim _{longrightarrow}{
m Hom}(A, A_i)

          uparrow           
earrow

 {
m Hom}(A, A_i)

 

において上向きの射は A_ihookrightarrow Aのpostcomposition, 斜めの射は埋め込みとする.  1in {
m Hom}(A, A)に対応するdisplaystyle lim _{longrightarrow}{
m Hom}(A, A_i)の元を像に含むような displaystyle {
m Hom}(A, A_i)hookrightarrow lim _{longrightarrow}{
m Hom}(A, A_i)を選べば, 

 1_A=(A	o A_i hookrightarrow A)とでき, これは分裂射である.

よって, retractionが単射だから Acong A_i.

 Aは有限生成である. 

 square

 

はてなブログで図式が満足に書けないのがつらい......。

 

 {f Ab}におけるfinitely presented objectが有限生成(有限表示)アーベル群であることが分かりました。アーベル群は有限生成部分群たちの帰納極限で書けるので

次の定義の条件を満たすことが分かります。

 

定義

 mathcal{C}がlocally finitely presentable categoryであるとは, 次の条件を満たすことを言う:

  1. 余完備である.
  2. finitely presentable objectからなる mathcal{A}subset mathcal{C}があって、任意のobjectは mathcal{A}のobjectのfiltered colimitで書ける.

 

個人的には locally presentable categoryの随伴関手定理なんかが使えると {f Ab}の反映的充満部分圏について考えるのが楽になったりならなかったりします。そういうのは真に圏論的なので初等的な議論から持ってくるのも難しいし、やはり圏論には圏論を、という感じがします。

 

こういう概念はこの本の一番最初に載っています。

 

Locally Presentable and Accessible Categories (London Mathematical Society Lecture Note Series)

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ところで、例の僕が人生で最初に買った圏論の本なのですが、

それは高校の時にシンガポールに行って土産にシンガポールの紀伊国屋で何らかを買ってこようと思い、当時の自分なりに一番意味不明なものを選んだ結果買われたものでした。もちろん当時は圏論という言葉も知らなかったです。

飛行機の中で読めるだけ読んで降りる頃にはわからなくなっていたので、そのまま放置され現在に至るわけですが、

その本とはこれです。

 

Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats (Dover Books on Mathematics)

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その数か月後に当時三年生だったFという人に出会い、圏論の話を聞くことになるとは夢にも思いませんでした。そのときにはこの本の存在はすっかり忘れ、マクレーンの圏論の基礎を買ったと思います。

すべてがFになる (講談社文庫)

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